塾生用【数学】復習

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【連立方程式】の“加減法”について

今日、新中3になった塾生に指導した数学の授業の中から1つ、連立方程式の文章題を採り上げてみます。

【問題】

ある中学校の昨年の生徒数は、男女合わせて530人だった。今年は去年と比べると、男子は5%減ったが女子は8%増えた。その結果、合計では6人増えている。今年の男子と女子の生徒数をそれぞれ答えなさい。

【まず初めに…】

ごく一般的なレベルの問題ですね。ただし、最終的に回答する数は“今年の男子生徒数”、“今年の女子生徒数”である点です。早とちりして、去年の生徒数をウッカリ答えては×になるので注意!

【考え方】

①何が分からなくて、求めたいのかをハッキリさせる。この問題の場合、いったん男女ともに“去年の生徒数”をそれぞれ“X”、“y”としておきます。

②連立方程式の文章題を解くコツは、まず問題文をよく読み、書かれている事実を、「“X”と“y”を使って2種類の異なった式で表現出来ないかな…」と試みる気持ちを持つ事です。

③1つめの式は、“去年の事柄”を上手く表せるか…がポイントです。

④2つめの式は、“今年の状態”を正しく表せるか…が勝負所です。1つめの式に比べると、やや複雑になるので頑張って下さい。

⑤2種類の式が作れたら、その先は機械的な計算作業に入ります。

【式を立てる】

X+y=530……<1> ←「去年の事柄について」

0.95X+1.08y=530+6……<2> ←「今年の状態について」

【いざ計算!】

※代入法で<1>の式を変形し、“y=530-X” としてから、<2>の式のyの代わりに、“0.95X+1.08(530-X)=536“とする方法もあるが、今回は『加減法』を採用します(^ ^)

【普通の解き方】

■<2>の式を100倍する。⇒⇒⇒ 95X+108y=53600……<2>’

■<1>×95-<2>’ ⇒⇒⇒
__95X+ 95y=50350
-)95X+108y=53600
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
______-13y=-3250
_______13y= 3250
_________y=  250 ←「去年の女子生徒数が分かった!」

■次は“X”を求めよう。式<1>にyの値を代入してみる。⇒⇒⇒ X+250=530

X=530-250=280 ←「これで去年の男子生徒数も分かった!」

■最後に男女それぞれ、今年の生徒数を算出しよう。

・「今年の男子生徒数」⇒⇒⇒ 280×0.95=266
・「今年の女子生徒数」⇒⇒⇒ 250×1.08=270

答え.男子266人 女子270人
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

※ 「”530×95=“を暗算で算出したい。」⇒⇒⇒ 530×(100-5)と式変形して工夫する。

530×100-530×5=53000-2650=50350←(⌒o⌒) ψできたぁ!

※「“280×0.95=“を暗算で計算したい。」
⇒⇒⇒ 280の5%はいくらだろうか?
⇒⇒⇒ 10%なら28だから、5%なら14である。
⇒⇒⇒ だから280ー14=266だ。

※「“250×1.08=”を暗算で計算したい。」
⇒⇒⇒ 250の8%って8倍してから2ケタ小さい数にすればOK。
⇒⇒⇒ それは20だ。
⇒⇒⇒ だから250+20=270となる!

【こんな別の解き方もあるよ】

学庵では、(無理に勧めてはいませんが、)普通の加減法とは少し違うアプローチで解く方法も教えています
(^ ^)

■小数にして揃える…

式<1>を0.95倍する。
0.95X+0.95y=530×0.95⇒⇒⇒503.5……<1>’

■<1>’-<2>⇒⇒⇒

__
0.95X+0.95y=503.5
-)0.95X+1.08y=536
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
_______-0.13y=-32.5
__________13y= 3250
_________ y=  250


(※あとは同じなので省略。)

どちらの方法でも当然同じ結果になります。どちらの方が簡単で楽かという事は一概には言えませんが、大きい数になって計算が大変な場合には、こんな手段もあるくらいに覚えておいて下さいね。

「オムライス」の面積について

今日は4月から新中1になったばかりの生徒に数学の授業を行いました。ですので、実質は小学校時代の復習がテーマなのですが、少しだけ掘り下げて考えてみたいと思います。なお、「オムライス」とは私が勝手に付けた呼び名でして(~_~;)、学校や他の塾の先生によっては「ラグビーボール」、「アーモンド」、「目」…etc.様々に名付けられているようです。

機械的にただ正解すれば良い…という考え方ではなく、「何故そうなるのか?」、「本当に間違いないのか?」など探求する気持ちが大事であることを理解してもらえたらと思います。

具体的には、“ココ”⇒PDFファイルを表示をクリック(タップ)すると、画面が開きます。

『確率』の授業より

先日、この4月から中3生になる生徒からの質問を受けました。どうやら学校で出された春休みの課題(宿題)で「よく分からないんです(>_<)」とのこと…。

早速、問題内容を見せてもらったところ、『確率』に関する文章題のようです。実は、それほど“応用レベル”というワケでもなく、丁寧に樹形図をかいていけば自然と正解になりそうな問題です。…とはいうものの、『確率』を苦手とする生徒はかなり多く存在します。おそらく、小学校時代から数えて算数・数学を大きく分類したとき、《計算》と《図形》が挙げられますが、『確率』はこのどちらにも該当しない独特な単元だからでしょうね。(そういう私も、中学校時代は悪戦苦闘…というより、惨敗していましたが(~_~;)

具体的には、次のような問題だったように記憶しています。

【問題①】大小2つのサイコロを投げた時、それぞれ出た目の数の積(かけた結果)が奇数になる確率

【考え方】
そもそも、大きいサイコロだけ振っても小さいサイコロだけ振ってもそれぞれ6通りずつ均等に目の出る可能性があります。具体的には、「大1&小1」,「大1&小2」・・・・・「大6&小6」まで鉛筆で手書きで書き出してみると、よりハッキリしますが、ココでは、下の表を利用することで少しでも簡便に正解にアプローチしてみる事にします。

「大きいサイコロで6通り」×「小さいサイコロも6通り」=36通り(の可能性が考えられる) それから、問題条件に合わせて大小サイコロの出た目の数の積をこの36マス表に次々と書き込んでみます。さらに、積が奇数であるものには〇印をつけると、こんな感じになりますよね。

本当は、〔1,1〕〔1,3〕〔1,5〕〔3、1〕〔3,3〕〔3,5〕〔5,1〕〔5、3〕〔5、5〕の9通りぐらいであれば、手書きで紙に書き出してもそれほど手間はかからないのかもしれません…。ですが、大事なポイントは、「どうやれば出来るだけ楽に、シンプルに解けるか?」を工夫する心構えではないでしょうか?…その上で最後に分数の計算を行いますと、

出題意図に合致する条件の数      9         1
━━━━━━━━━━━━━ = ━━ =  ━━  となりますね。
起こりうる全ての可能性の数   36     4

 

さらに【問題②】です。
少なくとも大小どちらか1つのサイコロの目は偶数である確率はいくら?

【考え方】
まず、落ち着いてよく考えてみましょう。算数や数学の文章題の場合、大設問のなかに小設問が2つ3つと続く事が多いですよね。さらに、つい先ほど回答したばかりの数字が、今目の前に突きつけられた問題を解く「カギ」となる場合が結構あります。

そもそも、「2つの数の積が奇数」になる場合ってどんな数の組み合わせになるのでしょう? ……、そうです。「奇数×奇数」のパターンに限定されるんです。

そして、問題①の条件もまた「積が奇数」となっていました…。つまり、大小のどちらも「奇数と奇数」というパターンだったワケです。それは↑の表の〇印がついた元の数同士を見てもらえれば分かりますよね?

…ということは、【全て起こりうる可能性の数】【大小2つとも奇数の目(⇔積が奇数)となる可能性の数】【大小サイコロのどちらかが偶数、あるいは大小サイコロの両方とも偶数となる可能性の数】だと言えるハズです。ヽ(`⌒´)ノ

最後に再び分数の計算を行いますと、
36       9   27       3
━━ - ━━ = ━━ =  ━━  となりました
(^ ^)
36   36       36   4

……あともう1問だけご紹介しておきます。

【問題③】

A君、B君、C君の3人の男の子と、Dさん、Eさんの2人の女子の5人グループがいます。この中で、公平にくじ引きで2人の掃除係を選ぼうとすると、男女1人ずつが係になる確率はいくら?


この問題も、特別に難しくはありません。ごく一般レベルの問題です。確かに、もっと人数が多ければ大変かもしれませんが、このくらいなら、〔A,B〕〔A,C〕〔A,D〕〔A,E〕〔B,C〕〔B,D〕〔B,E〕〔C,D〕〔C,E〕〔D,E〕の10通りの組み合わせがある事が、地道に手で紙に書き出せば分かると思います。

そして、↑のピンクで色づけした組み合わせで「2色」になっているものだけを数えれば6通りあることがハッキリしますね。あとは、分数で表現するだけです。すなわち、
 6    3
━━ = ━━ 
10     5             終わり(^ ^) 

・・・・なのですが、ココでもちょっと工夫する気持ちを大事にしましょう。そもそも、「5人いる中から2人の組み合わせを作る」という事であれば↓の図のように、『正五角形の辺の数と全ての対角線の数の合計』=10本…として捉える事も可能です。



見やすくするために5人を5色で色づけしましたが、肝心なのは男子それぞれ3人ともに女子とペアになる組み合わせは2通りずつになります。つまり、3(人)×2(通り)=6(通り)です。
…ということは、分数で表せば6/10=3/5となり、これが答えとなります。

↑の図ではそれぞれ3人の男子から2人の女子へと矢印が伸びるように描きましたが、別に2人の女子から3人の男子へと矢印を伸ばしても、2(人)×3(通り)=6(通り)となり結果は同じになります。

この図の便利なところは、たとえ人数が増えたような問題でも応用が利きやすいところです。仮に「男子4人,女子3人の中からくじ引きで男女のペアが生まれる確率」を尋ねられたとしましょう。純粋に「図形」の問題として捉え直してみると面白いですよ(^_-)-☆

↑の正五角形でまず考えてみましょう。頂点は5つあります。1つの頂点からは「辺と対角線」が4本ずつ引けそうですね。だから5×4=20……、アレ? なんかダブってる? …そうです、例えばA君からC君に伸ばした対角線と、C君からA君に伸ばした対角線は完全に同じで重複しています!これは全員に当てはまります! なので、5×4÷2=10としてやらなければいけません。そうすれば見た通りの“辺の数+対角線の数”と等しくなります。

…ということは、先ほどの応用編の問題を出題されても、同様な考え方で解けるハズですよね。

①それではまず、正七角形をイメージします。
②頂点は7つあります。
③1つの頂点から他の頂点に伸ばした線分が「辺あるいは対角線」でしたよね?
④7つの頂点からそれぞれ6本ずつの線を引くことが出来そうです…。
⑤でも「重複」するから “÷2”をするんでしたよね?
⑥だから、『正七角形の辺の数+全ての対角線の数』=
⑦7×6÷2=21(本)あると求められます(^ ^)
⑧次に「男子は4人いる」ワケですから、正七角形のうち4つの頂点から残り3つの頂点へと線が引けばよい事になります。
⑨つまり、4×3=12です。(※12通りの組み合わせが存在する!)
⑩ココで1つ注意!…⑧⑨の手順では、あくまで「男子から始めて女子のペアが出来るような矢印」を考えただけですから、矢印はダブってはいません。要するに、“÷2”は不必要だということです。
⑪以上、整理しますと…、
⑫『全体の組み合わせの数』⇒21
⑬『“男→女”の組み合わせの数』⇒12
⑭ゆえに、12/21=4/7   答え,4/7 となります。

以上で、最近生徒向けに実際に説明した内容を、まとめてみました。なかなか文字では表現しづらい部分もありましたが、『確率』の問題はパターンが多種多様…いろいろあってその都度、自分の頭で論理的に整理しなければいけないところが「くせ者」ですね(~_~;)
2018年3月31日 天保山波止場にて撮影
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